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Il Vago, il Gigante e il Bizzarro

asdParafrasando Gesù Cristo, chi non ha mai odiato la matematica delle scuole superiori scagli la prima pietra. Anche nel caso la materia avesse esercitato su di voi una strana forma di fascinazione sono sicuro che siano stati più i momenti di crisi che quelli di appagamento. O forse no.
Resta il fatto che i primi due anni di algebra a me sono sembrati alquanto deprimenti, consistendo nella maggior parte di calcoli bruti – quella che io, fin troppo gentilmente, ero solito chiamare enigmistica. Mai avrei pensato di poterli rimpiangere, ma così avvenne quando all’inizio della terza mi schiantai contro un piano cartesiano che, andando contro il motivo per cui era stato progettato, mi confuse le idee sulla natura delle figure molto più di quanto riuscì a chiarirmele. Ma non è finita. Al quarto anno, mentre pensavo che non avrei potuto essere più confuso riguardo la geometria piana, improvvisamente π si trasformò per qualche magia da una misura di lunghezze a una misura di ampiezze (e quello devo dire, come attesta il mio libretto scolastico, fu il colpo di grazia). C’è altro ovviamente nella matematica delle superiori: ci sono spunti, ci sono guizzi, ci sono potenzialità sprecate e parecchia roba da imparare a memoria; ci sono decine e decine di vorrei ma non posso, che alla fine si tramutano in potrei ma non voglio o in dovrei ma non riesco.
Ma si può fare pace con la matematica. Io l’ho fatta e con me l’hanno fatta tante persone che secoli dopo essersi lasciate alle spalle gli eterni eserciziari di algebra per caso hanno preso a imbattersi nelle piccole e grandi magie che i numeri permettevano di eseguire, su libri di divulgazione, sul web o perfino al cinema.

Per chi macina un po’ di inglese: Fenyman dice la sua sul modo in cui viene insegnata l’algebra a scuola.

Dal momento che io sono poco più che un curioso non posseggo i mezzi per impostare una trattazione sul significato filosofico della matematica o sui suoi infiniti utilizzi. Ma se anche fossi più esperto non sceglierei mai una strada che mi impedirebbe di restituire il fascino di una disciplina fatta per prima cosa di avventure al limite del fantastico e di bizzarri personaggi alla ricerca della verità. Per cui ho deciso che i numeri saranno i protagonisti del mio articolo sulla matematica, in particolare lo saranno 3 esemplari che tratterò approfonditamente, di cui probabilmente avete sentito parlare senza essere riusciti a coglierne appieno la prodigiosità. Questi protagonisti hanno a che fare con la complessità in modi radicalmente diversi e man mano spenderò qualche parola per classificarli in questo senso. In ogni caso al di là delle peculiarità dei singoli casi i numeri stanno molto vicini al cuore della complessità, perché sono organizzati in strutture infinite e imprevedibili (basti pensare ai numeri primi) e perché permettono di costruire articolati modelli del mondo fisico, biologico e sociale. E cosa c’è di più complesso del mondo?


Pi Greco

Iniziamo con qualcosa di relativamente semplice, il pi greco. Tutti lo avrete avuto tra le mani diverse volte e nella maggior parte dei casi l’avrete utilizzato senza porvi troppi problemi sulla sua provenienza e sul suo significato. Si tratta di una costante utile a calcolare circonferenza e area del cerchio, giusto? Questo e molto altro. Ma da dove viene? Quali sono le sue particolarità? Cosa si nasconde nella sua lunga coda?
Intanto, eccolo qui il nostro campione: π =  3,1415926535897932384626433
Vediamo subito che si tratta di un numero di consuete dimensioni, non straordinariamente grande e neanche straordinariamente piccolo – cosa un po’ strana in effetti dal momento che la maggior parte dei numeri sono straordinariamente grandi o straordinariamente piccoli. Non è un caso, naturalmente, nulla in matematica è un caso. L’ordine di grandezza del pi greco dipende dal fatto che esso rappresenta la lunghezza di una circonferenza di un cerchio dal diametro uno . Già questo fatto è molto importante: π non è uno strano valore che spunta fuori spremendo il cerchio in qualche diabolico tornio matematico, ma è l’essenza stessa della circolarità. Il pi greco è un cerchio in miniatura, un cerchio stilizzato, il codice sorgente del cerchio, il DNA del cerchio, e una volta trovato il suo valore è sufficiente impostare una proporzione per ricavare la misura di ogni tipo di circonferenza e area circolare. Facile no? Facile a dirsi. In pratica π è un numero molto scivoloso, che si rifiuta di ragionare (irrazionale) e valica i confini di questo mondo (trascendente). Vale a dire che non solo possiede infinite cifre decimali disordinate, ma anche che non è il risultato di nessun tipo di espressione algebrica – e dunque non può essere espresso né sotto forma di frazione né di radicale né di logaritmo, etc.

Nel momento in cui venne dimostrata la trascendenza di π l’ingenuo sogno matematico di poter trovare la quadratura del cerchio si disintegrò. Per fortuna un brav’uomo di nome Archimede visse in un’epoca in cui la parola trascendenza non esisteva ancora e uno dei più grandi misteri della geometria riguardava il modo con cui si potesse disegnare un quadrato della stessa area di un cerchio dato. E per ancora maggior fortuna Archimede fu tutt’altro che ingenuo: i pochi strumenti matematici a sua disposizione gli bastarono per rendersi conto dell’impossibilità di raggiungere una perfetta stima di π. Ancora meglio, egli arrivò a questa conclusione affinando la misura del perimetro di un cerchio a diametro uno fino al punto in cui gli fu possibile date le sue conoscenze, ragion per cui non gli dobbiamo solo l’intuizione della trascendenza del pi greco, ma anche un’ipotesi di valore precisa al 99,99%, fino alla quarta cifra decimale.
Douglas Hofstader nel suo Anelli nell’io scrive: “Probabilmente avete visto da qualche parte la dimostrazione di Euclide del teorema sull’infinità dei numeri primi; in caso contrario vi siete persi uno dei pilastri più fondamentali della conoscenza umana che siano mai stati eretti. Sarebbe, nella vostra esperienza di vita, una lacuna tanto deplorevole quando non avere mai assaggiato il cioccolato o non avere mai ascoltato un brano musicale.”
Tale dimostrazione è molto bella e molto importante, ma il lavoro di Archimede su π a parer mio è ancora più bello e ancora più importante. Sarebbe davvero un peccato non mostrarvene l’impostazione.

Allora… prendiamo il nostro cerchio di diametro 1 e costruiamo un quadrato Q1 ad esso circoscritto con i lati di questa medesima lunghezza. Dal momento che ogni quarto di circonferenza viene ad essere sovrastato da una spezzata (corrispondente a un quarto del quadrato) che ne congiunge gli estremi compiendo un percorso più lungo, siamo sicuri che il perimetro di Q1 è maggiore di quello del cerchio. Adesso spostiamoci all’interno della circonferenza, dove costruiremo un quadrato Q2 di diagonale pari a 1. Tale quadrato sarà ruotato di 45° rispetto a quello esterno e non solo avrà il perimetro minore del suo, ma anche minore di quello del cerchio dal momento che ogni quarto di circonferenza sarà sotteso da un lato di Q2 che congiunge i suoi stessi estremi compiendo un percorso minore.
Abbiamo quindi pQ1 < c < pQ2 con pQ1 = 4 e pQ2 = 2,8 (calcolabile con il teorema di Pitagora applicato ai triangoli retti e isosceli di ipotenusa conosciuta).

pi_square

Se il valore di c (e quindi di π) si trovasse esattamente a metà strada tra 4 e 2,8 sarebbe 3,4. Ooh… Fischi per Archimede! Lo scriba egizio Ahmes aveva riportato più di 1000 anni prima un valore del pi greco ben più vicino a quello reale: 3,16. La differenza tra Ahmes ed Archimede era che il primo semplicemente scriveva cose dettate da altri, mente il secondo aveva appena iniziando a tessere la tela volta ad imbrigliare l’essenza del cerchio. Vediamo quel che succede quando il numero dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti aumenta.

ImageASD

Già la media tra il perimetro del poligono inscritto e circoscritto a 32 lati permise ad Archimede di arrivare a una stima eccezionale, ma egli non si considerò soddisfatto e si spinse fino a poligoni con 96 lati, producendo un π da 3,1419. È tutto qui! Più bravi si diventa a calcolare il perimetro di figure piane regolari più ci si avvicina al vero valore di pi greco, ma non è mai possibile giungere a una risposta definitiva in quanto il cerchio è un poligono a infiniti lati e per quanto ci si sforzi l’infinito non è raggiungibile. Per questo diciamo che π è un numero trascendente: esso non è di questo mondo, non può venire racchiuso in una banale equazione algebrica, non sarà mai tutto sotto i nostri occhi.
Ho scelto π per aprire l’articolo proprio perché la sua solo parziale calcolabilità lo rende intuitivamente molto ingarbugliato e complesso.


Numero di Graham

Oggi conosciamo i primi 5000 miliardi di cifre decimali del pi greco, in parte perché possiamo utilizzare strumenti capaci di effettuare milioni di milioni di calcoli al secondo (i supercomputer) e in parte perché la matematica avanzata (in particolare le serie infinite e i numeri immaginari) ci ha resi in grado di impostare le espressioni per trovare il perimetro di poligoni a n lati. Un numero a 5000 miliardi di cifre è un senza dubbio molto grande, ma non ha nulla a che vedere con l’infinito, e neppure ha nulla a che vedere con i numeri più grandi che l’uomo è riuscito a trovare e utilizzare. 5000 miliardi di cifre stanno in una biblioteca da alcuni milioni di volumi o più semplicemente in un hard disk da 5 terabyte e con un po’ di sforzo possiamo scriverle sotto forma di potenze impilate (una cosa come 10^10^10^1,23479284 dove tre piani sono sufficienti per arrivare a un numero con 1012 cifre). Tale numero è alto, ma ancora concepibile dal nostro cervello, in particolare se si tratta di un numero decimale che non va ad alterare la vera dimensione di una costante – pi greco vale sempre circa 3.
Ma ci sono numeri così grandi che non solo il loro ordine di grandezza non è concepibile, ma non lo è neppure l’ordine di grandezza del loro ordine di grandezza. E, mentre noi umani possiamo scrollare le spalle davanti alla parola infinito, non riusciamo a scollarle di fronte a questi mastodontici numeri finiti, anche se l’infinito è infinite volte il loro valore. Si tratta di una questione psicologica: quando pensiamo all’infinito ci fermiamo ai numeri più alti in cui ci è capitato di imbatterci e pensiamo “e così via”, fondamentalmente perchè la maggior parte di noi non possiede sufficientemente immaginazione per visualizzare entità numeriche superiori, diverse, estreme. Quindi è necessario che queste entità superiori, diverse ed estreme vengano prodotte da matematici coraggiosi e da loro illustrate a tutti gli altri. È l’unico modo che abbiamo per arrivare a percepire un briciolo di immensità.
Il più mastodontico tra i numeri mastodontici è il numero di Graham; così mastodontico che il suo vertiginoso ordine di grandezza è per i nostri cervelli più trascendente di qualsiasi cosa si possa dire sul pi greco (e su Dio).

Dunque. Il numero di Graham è la soluzione a un problema di geometria non particolarmente interessante che si può sintetizzare così: quante dimensioni deve possedere una figura dalle facce quadrate affinché non sia più possibile colorare ogni lato e diagonale con gli stessi due colori senza che vi sia una faccia monocromatica? Graham trovò la risposta a questo quesito e il caso volle che si trattasse del più grande numero mai comparso in una dimostrazione matematica. Se non avete afferrato la mia ermetica formulazione del problema a questo link trovate un video in cui Graham stesso spiega il funzionamento della cosa. A noi non interessa molto la disputa geometrica ma piuttosto l’ordine di grandezza di questo numero spaventoso, per poi provare a confrontarlo con il numero record a 5000 miliardi di cifre che fino ad ora è stato posto dopo la virgola, in π.
Uno dei primi indizi che ci dovrebbe fare preoccupare dando un’occhiata alla dimostrazione di Graham è il fatto che sia necessaria una notazione non convenzionale per rappresentare la soluzione al problema. In pratica non è possibile esprimere il numero di Graham sotto forma di piramide di potenze, per quanto babelica essa possa essere: 999^999^999^999^999^999^999 è un numero gargantuesco, un numero con una quantità di cifre molto superiore quello di tutti gli atomi nell’universo, ma esso non vale niente se lo paragoniamo al numero di Graham. A dire il vero sospetto che anche se continuassi a copiare ^999 alla fine dell’espressione per i prossimi mille anni mi troverei in mano un numero che confrontato al numero di Graham continuerebbe ad essere poco più di zero.
Dunque le piramidi di potenze non vanno bene. Il simbolo utilizzato da Graham per il suo lavoro fu la freccia rivolta verso l’alto, o ↑. Vediamo cosa questa freccia significa e dove essa sia in grado di portarci. Pronti?

Una singola ↑ indica l’elevamento a potenza del numero che la precede per il numero che la segue, diciamo A↑B= AB. Ad esempio 3↑3 sta per 3 al cubo, ossia 27. Niente di che.
All’aumentare del numero di fecce n la regola da applicare è la seguente: A(n↑)B = A(n-1↑)[B(n-1↑)B]. Se le frecce sono solo due – 3↑↑3 – non avviene nulla di spettacolare perché applicata la regola si ricava 3↑(3↑3) che è una banale torre di esponenti a 3 piani, pari a 327, che è 7.625.597.484.987.
Solo arrivati allo step successivo il gioco si fa interessante, dal momento che le frecce iniziano a moltiplicarsi. 3↑↑↑3  diventa 3↑↑(3↑↑3) con (3↑↑3) uguale al numero a 13 cifre che abbiamo appena trovato. Sostituendo tale valore abbiamo 3↑↑7.625.597.484.987 ossia 3↑ (7.625.597.484.987↑7.625.597.484.987), che è 3 elevato a un numero con 98.235.035.280.650 CIFRE.
Passiamo a 3↑↑↑↑3? Dal momento che 3↑↑↑↑3 è uguale a 3↑↑↑(3↑↑↑3)  Basta prendere il mastodontico risultato appena ottenuto e metterlo al posto di C di questa espressione: 3↑↑↑C. Applichiamo le regola e vediamo che 3↑↑↑C vale 3↑↑(C↑↑C), per cui  dobbiamo in pratica elevare C a sé stesso due volte, elevare il risultato ottenuto a sé stesso, e infine mettere quel che esce come esponente a 3. E ricordiamoci che C ha diversi miliardi di miliardi di miliardi di cifre. Siamo già ben oltre il computabile, vale a dire che il numero di volumi di Planck nell’universo conosciuto sono molti molti di meno di 3↑↑↑↑3: se anche tutta la materia esistente fosse organizzata per funzionare come un enorme computer quantistico il valore di 3↑↑↑↑3 non sarebbe calcolabile.

Spero che siate caldi perché ora arriva il bello. Non ci basta aggiungere qualche freccia tra i 3 e vedere come il valore del numero che l’espressione indica schizzi oltre il comprensibile in poco tempo. Non ci basta renderci contro che 4 semplici frecce producano un numero così grande da non avere alcun significato fisico. Vogliamo altre frecce, tante altre frecce. Quante? 10? 100? 1000? No. Vogliamo mettere tra i due 3 un numero di fecce pari a 3↑↑↑↑3!! Troviamo così un numero impossibile, D. Ora tra i 3 mettiamo D frecce. Calcoliamo e troviamo E. Mettiamo E frecce tra i 3. Avanti così altre 62 volte e avremo il numero di Graham G.

467a1c5c71e418299c86644fa7988bcbIl numero di Graham è così grande che non è possibile scriverlo per intero neanche con la ‘up arrow notation’.


Numeri di Gödel

E ora qualcosa di completamente diverso!
Io considero il numero di Graham complesso perché esso ci dimostra che una mente umana, tenendo strette le briglie della matematica, può arrivare a ragionare su numeri infinitamente maggiori del numero di atomi nell’universo con un cervello che ne contiene un numero infinitamente minore. Tutto si svolge in potenza, ma è incredibile pensare che un organo così piccolo possa generare un fantasma in grado di ingoiare 3↑↑↑↑3 universi 3↑↑↑↑3 volte. E più. Nel caso non l’avessi mai detto i fantasmi, o emergenze, sono l’essenza della complessità.
I numeri di Gödel hanno poco in comune con il gioco matematico di Graham, essi sono assai più importanti e ingegnosi e hanno condotto ad una vera e propria rivoluzione in matematica attorno agli anni 30 del Novecento. Essi hanno in comune con G la grande dimensione (anche se non così grande!) e uno strano modo (ben più strano di G!) di costruirsi rigirandosi su sé stessi, ricorsivamente. La complessità deriva proprio dalla bislacca capacità che hanno di parlare di loro stessi: numeri che dicono cose sui numeri, che assurdità è mai questa?

Ecco un numero di Gödel: 243000000.
Ed eccone un altro: 1582264406545389000000
E un altro ancora:
2038651833281200581936943015701033907390834109640207601397560173563127523420889856562500000000.

Dedurre la natura di questi numeri senza conoscere il modo in cui sono stati costruiti è molto difficile e anche nel caso qualche campanello d’allarme suonasse nella vostra testa dubito riuscireste a immaginare il loro scopo ultimo. Ecco un consiglio: effettuatene la scomposizione in numeri di primi e confrontate i risultati. (In rete c’è uno strepitoso strumento, chiamato Wolfram Alpha, che è in grado di svolgere moltissime operazioni matematiche e darvi informazioni su ogni numero che gli vogliate sottoporre: provate a buttagli dentro quelli che vi ho proposto).

Ecco cosa succede:
243000000 = 26x35x56
1582264406545389000000 = 26×311×56×75×96
2038651833281200581936943015701033907390834109640207601397560173563127523420889856562500000000 = 28×34×513×714×118×1313×197×2317×299

Tutti e tre i numeri sono esprimibili come prodotto di potenze di numeri primi crescenti! Grande! E quindi? Perché la cosa è interessante? Gli esponenti da dove vengono? E perché nel primo esempio i numeri primi tra di loro elevati e moltiplicati sono 3 e nel terzo sono 9? C’è un limite alla grandezza degli esponenti? C’è un limite alla lunghezza dell’espressione?
Ecco la risposta, in breve: gli esponenti codificano ciascuno un simbolo del sistema logico formale PM e il numero delle basi corrisponde al numero di caratteri presenti nella stringa tradotta.

Facciamo un passo indietro. Il lavoro di Kurt Gödel risale a un momento di profonda crisi per la logica occidentale, un momento di paradossale coesistenza tra il più rigido conservatorismo e la più sfrenata sperimentazione.
Bertrand Russel e Alfred Whitehead da poco avevano concluso un faticoso di lavoro di reimpostazione formale di tutta la matematica, riforgiando gli strumenti logici che fino a quel momento erano stati utilizzati e organizzandoli gerarchicamente in modo tale che fossero ben chiari a tutti i punti di partenza e le regole da seguire. Era la prima volta che un tentativo di completa formalizzazione della matematica aveva successo e si trattava di un gran traguardo perché il sistema di Russel e Whitehead, chiamato Principia Mathematica o PM, ora poteva legittimare o delegittimare ogni nuova scoperta mettendola alla prova con assiomi e leggi di inferenza. Dal momento che PM possedeva o poteva definire tutti i simboli necessari per fare matematica e che operava secondo regole assodate come il principio di identità, quello di non contraddizione e altri, in pratica tutto quello che in esso veniva derivato era da considerarsi vero e tutto ciò che si ipotizzava vero doveva poter essere derivato.
Cosa rovinò questo scenario idilliaco? Purtroppo non tutti i matematici del mondo erano placidi quando Russel e i suoi amici conservatori, per cui anche se l’idea di un sistema formale completo e consistente piacesse alle nuove leve, ugualmente queste erano eccitate dalla possibilità di metterlo alla prova. Fu così che Gödel si lanciò insieme ai suoi compagni in una forsennata caccia al paradosso. E la vinse, la vinse in maniera schiacciante e sorprendente, dimostrando che qualsiasi sistema formale sufficientemente complesso avrebbe contenuto una famiglia di proposizioni in grado di negare loro stesse. Come ci riuscì? Attraverso i numeri che prendono il suo nome.

PM è costituito da pacchetti di righe scritte in linguaggio fatto di operatori logici (in modo non molto diverso dai moderni linguaggi di programmazione). Ogni pacchetto è detto dimostrazione, o derivazione, e ogni riga è detta stringa, formula o proposizione. Gödel decise di trasformare proposizioni e dimostrazioni in numeri che gli fosse possibile reinserire in PM, consentendogli così di manipolarle e confrontarle attraverso gli strumenti dello stesso sistema formale, cosa che non era altrimenti concessa dalle regole imposte da Russel. Così egli assegnò ad ogni simbolo PM un numero intero, e trovò un modo per fare sì che nella conversione stinga-numero il loro ordine e la loro frequenza fosse rispettata. In pratica basta prendere una formula logica, sostituire i suoi caratteri con primi crescenti elevati al numero che individua ciascun simbolo e moltiplicare tutti i risultati. Per esempio la numerazione di Gödel assegna al simbolo 0 il numero 6 e al simbolo = il numero 5. Per trasformare la stringa 0=0 in un valore numerico è sufficiente calcolare 26x35x56 che per puro caso è 243000000, il nostro primo esempio di numero di Gödel.

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Riuscite a ricavare le stringe madre degli altri due numeri che vi ho proposto sopra?

Non dovrebbe essere difficile.

26×311×56×75×96
è 0+0=0
e
28×34×513×714×118×1313×197×2317×299
è (Ex)(x=s0) che si legge “esiste una x tale che x è uguale a 1″ e significa “esiste un numero che è 1”

Arrivati a questo punto sarebbe ingiusto lasciarvi senza accennare al gioco di prestigio che permise  a Gödel di minare la credibilità di PM come portatore di ordine, luce e verità. In pratica egli riuscì a derivare in PM una proposizione G che, nella nostra lingua, affermava: “g non è il numero di Gödel di nessuna proposizione”. Che sarebbe stato come dire che quel numero g non poteva essere tradotto in una stringa PM. Peccato che g era proprio il numero di Gödel di G! In pratica se si fosse presa G e la si fosse trasformata in un numero si sarebbe trovato proprio g. Spiegare come Gödel sia riuscito a fare stare il numero di Gödel di una stringa dentro sé stessa è troppo lungo e complicato per essere riportato qui ma vi posso garantire che egli lo fece usando solo simboli e regole approvate da Russell durante la redazione di PM. In pratica Gödel aveva dimostrato come l’onnipotente sistema PM, in grado di dire solo verità e di includere tutte le verità al suo interno poteva arrivare ad affermare una cosa che si contraddiceva da sola. Se G fosse stata vera essa avrebbe asserito una falsità, mentre se fosse stata falsa starebbe dicendo una verità.

“Questa affermazione è falsa” afferma il paradosso di Epimede e la cosa ci risulta curiosa ma sicuramente non fa crollare le nostre certezze sul mondo. Anzi, è un’ulteriore prova di quanto sia facile sostenere una cosa e subito dopo il suo contrario, come molti esperti di bispensiero orwelliano ci dimostrano ogni giorno. Questo non ci sconvolge perché sappiamo bene che il linguaggio umano per quanto ricorsivo e generativo non è gerarchico in senso stretto, con tutte le possibilità che si originano da assiomi iniziali. Quello è PM e PM non poteva sopportare di contenere un paradosso, perché altrimenti le sue pretese di modello logico ultimo non sarebbero più potute valere. Gödel dimostrò che la matematica non era semplicemente uno strumento in grado portare ordine, luce e verità, ma anche un luogo oscuro, confuso e talvolta contraddittorio.

0ae9a8546c6fdeefc3c2db6cfd521b0a25a79b13a89698bd5764fd1d0ae56362 (1)Quel burlone di Gödel

Bibliografia
David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, 1998
Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Back: An Eternal Golden Braid, 1979
Douglas Hofstadter, I am a Strange Loop, 2007
Ernest Nagel, James Newman, Gödel’s Proof, 2008

Don’t Panic!

the hitchhikers guide to the galaxy dont panic 1280x1024 wallpaper_www.wall321.com_50Amici e parenti mi chiedono spesso cosa sia la psicologia, pensando di stare ponendo una domanda da un milione di dollari. E quindi rimangono a bocca aperta quando prontamente rispondo che la psicologia per me non è altro che l’insieme delle discipline che studiano comportamento umano. Oppure, detto in un altro modo, la psicologia si propone di rispondere alla domanda “Perché le persone si comportano come si comportano?”. Produrre una definizione ampia di un campo di studi non significa, comunque, sottovalutarne le modularità: la psicologia è tutto fuorché un disordinato miscuglio di teorie  e nozioni. Si possono tracciare molte linee (adeguatamente sfocate) di demarcazione tra discipline coinvolte, impostazioni metodologiche e strumenti concettuali. A me in genere piace distinguere tra la psicologia che studia ciò che le persone hanno in comune tra di loro e quello che invece hanno di diverso. La psicologia clinica – psicoanalisi, psicoterapia, psicodinamica – è rappresentativa del secondo gruppo, mentre la psicologia scientifica è generalmente orientata verso il primo. Le persone condividono una serie di atteggiamenti, di pulsioni e di strutture di pensiero, in parte ereditate dai nostri antenati, in parte appresi culturalmente e allo stesso tempo si differenziano per vissuto e attitudini innate. Conoscere le cause dei propri comportamenti, e in particolare a quale di questi due campi appartengono, è molto utile nel momento in cui si vuole intervenire su di essi o, ancora prima, capire quanto siano legittimi.

Io sono più orientato verso lo studio di ciò che è trasversale al genere umano, ovvero i modi i cui tendiamo (o siamo tentati) a comportarci tutti. E se c’è un sistema di pensiero estremamente diffuso ai giorni nostri e pericolosamente resiliente, è l’allarmismo: un mix di pessimismo nei confronti del mondo presente e futuro, unito ad una morbosa malinconia dei tempi passati. Questo atteggiamento è un lusso occidentale che deve la propria esistenza all’incontro tra strutture cognitive molto antiche e strumenti di comunicazione in grado di selezionare e amplificare l’informazione. La maggior parte di noi si trova al centro di un circolo a feedback positivo molto stretto che autoalimenta sentimenti demoralizzanti quando va bene, distruttivi quando va male. Dal momento che tale pessimismo non è legittimato da una lettura neutra dei fatti, o legittimato solo in parte, la tendenza ad abbracciare l’allarmismo cade sotto la definizione di bias socio-cognitivo, un errore sistematico di percezione ed elaborazione dell’informazione.
Vediamo di capire di che si tratta.
Nessuno ha saputo esprimere il timore del mondo scientifico più progressista per il dilagante pessimismo meglio dello scrittore ed economista Matt Ridley, che in uno degli ultimi capitoli del suo The Rational Optimist prende in rassegna e commenta la valanga di timori più o meno infondati che l’opinione pubblica mastica e ingoia ogni giorno. Ridley è brillante, preparato, instancabile, e io non sono l’unico ad aver trovato il suo lavoro divulgativo illuminante, tant’è che una molteplicità di articoli e scritti contemporanei citano il suo libro. Dal momento che il mio articolo non intende seguire Ridley ma piuttosto discutere i motivi psicologici della tendenza al pessimismo individuale e di massa, qui sotto mi prendo la libertà di copiare la pagina di apertura del capitolo Turning points, che introduce l’argomento nel miglior modo possibile. Invito a leggere l’intera opera per avere una persuasiva visione di insieme dei motivi per cui la situazione attuale del mondo faccia ben sperare piuttosto che disperare.

“Se affermate che il mondo è sempre migliorato forse vi daranno degli ingenui, o degli insensibili. Se sostenete che il mondo continuerà a migliorare, vi prenderanno seriamente per matti. L’economista Julian Simon, che ci ha provato negli anni novanta, è stato definito in tutti i modi: imbecille, marxista, caparbiamente antiquato e criminale; il suo librò, però, non conteneva alcun errore. Anche Bjorn Lomborg ci ha provato, attorno al duemila, e per questo è stato temporaneamente condannato per disonestà scientifica dall’Accademia Nazionale delle Scienze danese, senza che fossero forniti esempi sostanziali, e senza che gli fosse data l’opportunità di difendersi, sulla base di una recensione costellata di errori su Scientific American; neppure il libro di Lomborg, però, conteneva alcun errore. «L’implicita fiducia nei vantaggi del progresso» sosteneva Von Hayek «è ora considerata come indice di mentalità superficiale».
D’altro canto se sostenete che la catastrofe è imminente potreste aspettarvi di ricevere il premio MacArthur genius o perfino il Nobel per la Pace. Le librerie gemono sepolte sotto lo zigurrat di pessimismo. L’etere è intriso di rovina. Nel corso della mia vita adulta ho ascoltato previsioni implacabili a proposito di proverà crescente, carestie imminenti, deserti in espansione, epidemie prossime venture, guerre per l’acqua incombenti, inevitabile esaurimento del petrolio, scarsità di minerali, calo degli spermatozoi, assottigliamento dello strato di ozono, piogge acide, inverni nucleari, epidemie di mucca pazza, Millenium bug, api assassine, pesci che cambiano sesso, acidificazione degli oceani e perfino impatto di asteroidi che in breve tempo porteranno questo intermezzo felice a una fine tremenda. Non ricordo un’epoca in cui sobrie, insigni e serie élite non abbiano esposto con solennità  uno qualsiasi di questi allarmismi, poi ripreso in modo isterico dai media. Non ricordo un’epoca in cui nessuno mi abbia incalzato sul fatto che il mondo potrebbe sopravvivere solo se si abbandonasse il folle traguardo della crescita economica.”

ambiente001Il libro con cui Bjorn Lomborg
ha fatto incazzare un sacco di gente.

Un antico dittatore

Appoggiate al lato più interno del lobo temporale, al di sotto il giro cingolato e anteriormente all’ippocampo, nelle profondità del cervello si trovano una piccola formazione tondeggiante, la nostra amigdala. L’amigdala appartiene alla formazione sottocorticale identificata come sistema limbico, ed è una struttura comune a tutti i vertebrati che dall’alba dei tempi si occupa dei pericoli scatenando reazioni di paura. La paura può essere considerata l’adattamento per eccellenza, dal momento che è attraverso di essa che gli animali possono identificare le minacce e rispondervi in tempi molto brevi, restando così in vita. Tuttavia, pur essendo il riconoscimento del pericolo e lo scatenamento dello stato d’allarme operazioni basilari per la sopravvivenza, esse non hanno avuto né modo né bisogno di raffinarsi oltre un certo livello di dettaglio: saper discriminare con precisione tra un predatore e l’altro quando si sta per venire attaccati non solo non serve un granché, ma è perfino controproducente, dal momento che sprecherebbe tempo ed energie utili alla fuga. La natura insegnò ai nostri progenitori che quel che conta è reagire alla svelta quando si percepisce qualcosa di potenzialmente nocivo, poco importa di cosa si tratta e poco importa se si è incappati in un falso allarme. Il motivo per cui noi ancora trasaliamo a sentire un abbaiare improvviso, pur sapendo che il cane in questione non ci farà alcun male, o per cui proviamo un senso di repellenza incontenibile per gli aracnidi più innocui, è che le nostre amigdale hanno imparato a reagire con forza a pattern uditivi e visivi precisi.
Non solo la risoluzione percettiva dell’amigdala è molto bassa e la sua tolleranza molto alta (per cui veniamo spaventati anche da cose che non dovrebbero), ma essa è anche un collo di bottiglia inaggirabile per tutti gli stimoli in entrata. Ben prima che ci sia data la possibilità di renderci conto della situazione che abbiamo davanti l’amigdala ha già dato il suo responso circa il suo grado di rischio e nel caso essa risulti in qualche modo sospetta la nostra attenzione vi si focalizza, il nostro sistema nervoso autonomo si attiva e una cascata di impulsi partono nella direzione delle cortecce, chiedendo ascolto. E come se non bastasse l’amigdala ha una memoria da elefante. Stimoli che si associano ad esperienze sgradevoli diventano anch’essi sgradevoli, e nuovi pattern identificati (sia coscientemente sia inconsciamente) come poco rassicuranti in futuro verranno tenuti in maggiore considerazione.
L’evoluzione ci ha plasmati per essere individui ansiosi e sospettosi in un mondo naturale pieno di minacce. Ma la realtà sociale in cui viviamo è sorta proprio per proteggerci da quelle minacce e gli allarmismi immotivati al giorno d’oggi creano più problemi di quanti ne risolvano: difficoltà ad interagire con gli estranei, terrore all’idea di andare in giro da soli la notte, sentimenti razzisti, complottismo. Come se non bastasse i mass media sfruttano la nostra suscettibilità bombardandoci di immagini forti e titoli sensazionalistici: dedicando oltre il 90 per centro dello spazio disponibile a notizie di cronaca nera, di guerra, di crisi politica, di tracollo finanziario e così via gli editori sanno di attirare l’attenzione e sanno che rimarranno impressi.
In un mondo saturato dall’informazione due piccole formazioni neurali nascoste nel collo del cervello ci spingono a cercare minacce da tutte le parti. E le trovano, servite su un piatto d’argento nei notiziari. Così, eccitati e coinvolti non facciamo che parlare del male che c’è al mondo, autosuggestionandoci ulteriormente. È un circolo vizioso che è importante riuscire a rompere per poter guardare alle cose con obbiettività.

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Scorciatoie e tranelli

Abbiamo visto che l’amigdala fa entrare in circolo quante più brutte notizie possibile, un vizio che ci tiriamo dietro da centinaia di milioni di anni. Fosse tutto qui avremmo modo di opporci alle pressioni psicologiche esercitate dai continui allarmi, con modalità simili a quella con cui ci discipliniamo dopo essere sobbalzati per l’abbaiare di un cane: sappiamo di essere al sicuro, sappiamo che il cane non ce l’ha con noi ma sta solo proteggendo il suo territorio da possibili minacce (in fondo anche lui ha un’amigdala!) e quindi facciamo un bel respiro e ci tranquillizziamo. Purtroppo è molto più facile scrollare le spalle dopo aver incontrato un mastino inferocito che dopo aver letto l’ennesima notizia sul nucleare e non tanto perché ciò sembra essere maggiormente rilevante, ma piuttosto perché dopo la trappola emotiva amigdaoilea le persone solitamente cascano nel tranello successivo: le euristiche.
Con il temine euristica si intende identificare un processo semi-automatico volto alla formazione di un giudizio. Noi ci formiamo opinioni ed esprimiamo pareri su quel che ci circonda in ogni istante della nostra vita, e raramente ciò avviene dopo una ponderata riflessione o un oculato confronto. Semplicemente notiamo dei particolari sopra ad altri, costruiamo associazioni, connotiamo affettivamente gli elementi in gioco e archiviamo il tutto. Ciò avviene in maniera spontanea e solo raramente cosciente. Man mano che nuove informazioni si presentano al nostro cervello queste vengono messe in ordine e utilizzate per produrre giudizi e successivamente per prendere decisioni. Le euristiche più importanti sono tre: l’euristica della disponibilità collega l’argomento in discussione con gli esempi più immediati che vengono in mente, cioè con informazioni che si è ricevuti più volte o che ci si sono presentate con maggior forza; l’euristica della rappresentatività collega eventi che si assomigliano e rende quelli più conosciuti modelli per ciò che è sconosciuto; l’euristica dell’ancoraggio ci spinge a concentrarci sui dettagli di una situazione che attirano la nostra attenzione, e di trascurare gli altri (1).
Non è difficile capire quanto questi meccanismi, generalmente utili per leggere la realtà, possono amplificare il già deleterio lavoro dell’amigdala. Interrogato sulla desiderabilità di una nuova semente geneticamente modificata il nostro cervello tenderà a dare la precedenza agli slogan ambientalisti che tappezzano il web piuttosto che a quello studio ben argomentato che abbiamo letto a metà un soleggiato pomeriggio di agosto (euristica della disponibilità); tenderà ad associare il business delle sementi geneticamente modificate al modello turbocapitalista che è sedimentato nella cultura europea a partire dal dopoguerra e che si è rivelato essere vincente (euristica della rappresentatività); tenderà a concentrarsi sui rischi – additati dall’amigdala con grande entusiasmo e sponsorizzati dai media con entusiasmo ancora maggiore – e tralascerà di prendere i considerazione i potenziali benefici (euristica dell’ancoraggio). Discorso simile per l’energia nucleare, la sperimentazione animale, la crisi economica, i vaccini, eccetera.
Se a tutto ciò si aggiunge una distorsione ulteriore nella selezione delle informazioni detta confirmation bias, che consiste nell’ignorare deliberatamente il materiale che contraddice le nostre credenze, uscire dal circolo vizioso creato dalle euristiche diventa davvero dura.

1487291_595767777159585_1052802225_nSi parla tanto di incidenti nucleari, ma le vittime delle centrali sono fino ad ora state ridicolmente minori di quelle degli impianti di lavorazione o estrazione dei  combustibili fossili (e anche di quelle delle energie rinnovabili, bisogna dire).

Oltre la terza dimensione

Si dice che tutto è limitato tranne l’immaginazione. Sebbene si tratti di un’affermazione molto romantica, essa è anche molto sbagliata. Basta cercare di immaginare un mondo a quattro dimensioni spaziali per rendersi conto di non poterlo fare, ma c’è molto di più di questo. Il nostro cervello ha vissuto la sua più grande espansione nelle condizioni ben precise della foresta-savana, condizioni che includevano una dimensione sociale di scarsa grandezza (reti di relazioni con estensione massima di cento individui), trasformazioni culturali molto lente e lineari, capacità limitata di spostamento e minacce immediate. Nonostante in tempi più recenti grazie al linguaggio abbiamo acquistato la capacità di figurarci cose impossibili da esperire direttamente, i meccanismi percettivi e i sistemi cognitivi sottostanti non si sono modificati da allora. Per cui non riusciamo ad avere un’intuizione diretta dalla differenza tra distanze molto grandi, cifre molto grandi, tempi molto lunghi, eccetera.
Uno dei problemi che ci troviamo di fronte nel mondo contemporaneo è che sempre un maggior numero dei funzioni mentali per la formazione dei giudizi e la presa di decisione non sono più adatti al mondo in cui viviamo. Le tecnologie dell’informazione tenono a movimenti evolutivi esponenziali, difficili da concepire per un cervello lineare come il nostro: siamo intuitivamente capaci di immaginare cosa significa possedere un computer in grado di aumentare le proprie prestazioni di una quantità fissa ogni anno, ma non ci è possibile capire le conseguenze di un raddoppio annuo di tali prestazioni. Scrive Peter Diamandis: “Per darvi un’idea della differenza, se io compio trenta passi lineari (diciamo un metro ad ogni passo) dalla porta d’ingresso della mia casa a Santa Monica mi ritrovo a 30 metri di distanza. Invece, se compio trenta passi esponenziali (uno, due, quattro, otto, sedici e via dicendo), finisco per ritrovarmi a un miliardo di metri di distanza o, se preferite, a fare ventisei volte il giro del mondo”. Grazie all’informatica sia la potenza dei nostri strumenti tecnologici sia la larghezza della banda di comunicazione tra persone stanno aumentando esponenzialmente e dal momento che strumenti e comunicazione tendono a risolvere i problemi, non riuscire ad accedere spontaneamente alle verità relative alla portata della loro crescita non può che rinforzare il nostro pessimismo.
Un altro esempio di come la limitatezza delle risorse cognitive umane condiziona giudizio del mondo riguarda la discriminazione delle probabilità. Il nostro antico sistema di sorveglianza si è evoluto in un’era di immediatezza, quando le minacce più comuni riguardavano aggressioni e avvelenamenti imminenti. Molti dei pericoli odierni sono di tipo probabilistico (terrorismo, tracollo economico, crisi climatica, incidenti d’auto, etc) e l’amigdala non è in grado di capirne la differenza. Dal momento che il nostro sistema di allarme è programmato per non spegnersi fino a che il potenziale pericolo non è svanito e che i problemi di tipo probabilistico non svaniscono mai completamente anche minacce lontane ed estremamente improbabili finiscono per eccitarci e condizionare il nostro pensiero.

ajedrez_chessboardLa favola che racconta l’invenzione degli scacchi lascia a bocca aperta perché fa riflettere sulla differenza tra progressione lineare ed esponenziale.

Don’t Panic!

Marc Siegel è  professore di medicina alla New York University School of Medicine, giornalista, scrittore e radiofonista. Nel 2005 ha scritto un libro intitolato False Alarm: The Truth about the Epidemic of Fear, che includeva il seguente passo:
“Da un punto di vista statistico il mondo industrializzato non è mai stato più sicuro di così. La maggior parte di noi vive più a lungo e con minor complicazioni ma ciononostante le nostre menti popolano scenari pessimistici dominati dalla paura. Nel secolo passato gli americani hanno radicalmente ridotto i rischi legati a qualsiasi area della vita, con il risultato che l’aspettativa di vita nel 2000 è stata del 60 percento superiore rispetto al 1900: gli antibiotici hanno diminuito la probabilità di morire a causa di infezioni, le misure di sanità pubblica impongono standard per la potabilità dell’acqua e la respirabilità dell’aria e la nostra spazzatura viene rimossa alla svelta. Eppure siamo più preoccupati che mai. I pericoli naturali non ci sono più, i meccanismi di risposta invece sono ancora lì al loro posto, e sono attivati per la maggior parte del tempo. Il risultato è una specie di implosione: trasformiamo il nostro meccanismo adattivo di paura in una risposta maladattiva di panico.”

Questo è un problema. Il panico, che deriva dalla certezza di avere le ore contate, è un sentimento controproducente, scoraggiante a piccole dosi e paralizzante a grandi dosi. Non aiuta a risolvere i problemi che ancora ci sono al mondo, ma piuttosto induce a crogiolarsi in pensieri catastrofisti, a sentirsi inutili, sconfitti e destinati alla miseria. La malefica amplificazione amigdala-media-euristiche può essere sconfitta unendo un’informazione più propositiva a sentimenti di rivalsa personali: potremmo cambiare il mondo per davvero impiegando il tempo e le energie al momento utilizzate per lamentarci di quanto esso sia un posto scomodo e ingrato. Oppure potremmo semplicemente stare a guardare e vedere cosa succederà, evitando di fare troppo chiasso con i nostri pensieri negativi. La vecchia massima “Chi pensa che sia impossibile non dovrebbe disturbare chi ce la sta facendo” è sempre assai attuale.

 

Note
(1) Nel 1894 il London Times stimò che, se la crescita ti traffico equino in città si fosse mantenuta costante, entro 50 anni le strade della capitale sarebbero state coperte da uno strato spesso nove piedi di sterco. Era un momento di seria crisi per l’igiene di Londra e la preoccupazione delle persone per il problema era legittimo, ma al proiezione del giornale circa il futuro delle strade di città retrospettivamente ci fa molto ridere. L’euristica dell’ancoraggio, unita al malsano allarmismo dei giornali, condusse gli esperti a una predizione miope che non teneva conto della situazione nella sua interezza – ad esempio che i primi modelli di automobile erano già in circolazione da più di 10 anni e presto avrebbero conquistato il mercato.
Oggi non abbiamo più strade inquinate dai cavalli, ma cieli inquinati dalle automobili. Evitiamo di cadere negli stessi errori dei Londinesi di fine Ottocento credendo che una catastrofe ecologica sia vicina. Piuttosto manteniamo la calma e lavoriamo per diffondere (e se non esistono ancora, creare), tecnologie più sicure.

Bibliografia
Mark F. Bear, Barry W. Connors, Michael A. Paradiso, Neuroscience. Exploring the Brain, 2001
Marc Siegel, False Alarm: The Truth about the Epidemic of Fear, 2006
AA.VV, a cura di Gabriella Pravettoni, Gianluca Vago, La Scelta Imperfetta, 2007
Matt Ridley, The Rational Optimist, 2012
Peter Diamandis e Steven Kotler, Abundance, 2012