Il Vago, il Gigante e il Bizzarro

asdParafrasando Gesù Cristo, chi non ha mai odiato la matematica delle scuole superiori scagli la prima pietra. Anche nel caso la materia avesse esercitato su di voi una strana forma di fascinazione sono sicuro che siano stati più i momenti di crisi che quelli di appagamento. O forse no.
Resta il fatto che i primi due anni di algebra a me sono sembrati alquanto deprimenti, consistendo nella maggior parte di calcoli bruti – quella che io, fin troppo gentilmente, ero solito chiamare enigmistica. Mai avrei pensato di poterli rimpiangere, ma così avvenne quando all’inizio della terza mi schiantai contro un piano cartesiano che, andando contro il motivo per cui era stato progettato, mi confuse le idee sulla natura delle figure molto più di quanto riuscì a chiarirmele. Ma non è finita. Al quarto anno, mentre pensavo che non avrei potuto essere più confuso riguardo la geometria piana, improvvisamente π si trasformò per qualche magia da una misura di lunghezze a una misura di ampiezze (e quello devo dire, come attesta il mio libretto scolastico, fu il colpo di grazia). C’è altro ovviamente nella matematica delle superiori: ci sono spunti, ci sono guizzi, ci sono potenzialità sprecate e parecchia roba da imparare a memoria; ci sono decine e decine di vorrei ma non posso, che alla fine si tramutano in potrei ma non voglio o in dovrei ma non riesco.
Ma si può fare pace con la matematica. Io l’ho fatta e con me l’hanno fatta tante persone che secoli dopo essersi lasciate alle spalle gli eterni eserciziari di algebra per caso hanno preso a imbattersi nelle piccole e grandi magie che i numeri permettevano di eseguire, su libri di divulgazione, sul web o perfino al cinema.

Per chi macina un po’ di inglese: Fenyman dice la sua sul modo in cui viene insegnata l’algebra a scuola.

Dal momento che io sono poco più che un curioso non posseggo i mezzi per impostare una trattazione sul significato filosofico della matematica o sui suoi infiniti utilizzi. Ma se anche fossi più esperto non sceglierei mai una strada che mi impedirebbe di restituire il fascino di una disciplina fatta per prima cosa di avventure al limite del fantastico e di bizzarri personaggi alla ricerca della verità. Per cui ho deciso che i numeri saranno i protagonisti del mio articolo sulla matematica, in particolare lo saranno 3 esemplari che tratterò approfonditamente, di cui probabilmente avete sentito parlare senza essere riusciti a coglierne appieno la prodigiosità. Questi protagonisti hanno a che fare con la complessità in modi radicalmente diversi e man mano spenderò qualche parola per classificarli in questo senso. In ogni caso al di là delle peculiarità dei singoli casi i numeri stanno molto vicini al cuore della complessità, perché sono organizzati in strutture infinite e imprevedibili (basti pensare ai numeri primi) e perché permettono di costruire articolati modelli del mondo fisico, biologico e sociale. E cosa c’è di più complesso del mondo?


Pi Greco

Iniziamo con qualcosa di relativamente semplice, il pi greco. Tutti lo avrete avuto tra le mani diverse volte e nella maggior parte dei casi l’avrete utilizzato senza porvi troppi problemi sulla sua provenienza e sul suo significato. Si tratta di una costante utile a calcolare circonferenza e area del cerchio, giusto? Questo e molto altro. Ma da dove viene? Quali sono le sue particolarità? Cosa si nasconde nella sua lunga coda?
Intanto, eccolo qui il nostro campione: π =  3,1415926535897932384626433
Vediamo subito che si tratta di un numero di consuete dimensioni, non straordinariamente grande e neanche straordinariamente piccolo – cosa un po’ strana in effetti dal momento che la maggior parte dei numeri sono straordinariamente grandi o straordinariamente piccoli. Non è un caso, naturalmente, nulla in matematica è un caso. L’ordine di grandezza del pi greco dipende dal fatto che esso rappresenta la lunghezza di una circonferenza di un cerchio dal diametro uno . Già questo fatto è molto importante: π non è uno strano valore che spunta fuori spremendo il cerchio in qualche diabolico tornio matematico, ma è l’essenza stessa della circolarità. Il pi greco è un cerchio in miniatura, un cerchio stilizzato, il codice sorgente del cerchio, il DNA del cerchio, e una volta trovato il suo valore è sufficiente impostare una proporzione per ricavare la misura di ogni tipo di circonferenza e area circolare. Facile no? Facile a dirsi. In pratica π è un numero molto scivoloso, che si rifiuta di ragionare (irrazionale) e valica i confini di questo mondo (trascendente). Vale a dire che non solo possiede infinite cifre decimali disordinate, ma anche che non è il risultato di nessun tipo di espressione algebrica – e dunque non può essere espresso né sotto forma di frazione né di radicale né di logaritmo, etc.

Nel momento in cui venne dimostrata la trascendenza di π l’ingenuo sogno matematico di poter trovare la quadratura del cerchio si disintegrò. Per fortuna un brav’uomo di nome Archimede visse in un’epoca in cui la parola trascendenza non esisteva ancora e uno dei più grandi misteri della geometria riguardava il modo con cui si potesse disegnare un quadrato della stessa area di un cerchio dato. E per ancora maggior fortuna Archimede fu tutt’altro che ingenuo: i pochi strumenti matematici a sua disposizione gli bastarono per rendersi conto dell’impossibilità di raggiungere una perfetta stima di π. Ancora meglio, egli arrivò a questa conclusione affinando la misura del perimetro di un cerchio a diametro uno fino al punto in cui gli fu possibile date le sue conoscenze, ragion per cui non gli dobbiamo solo l’intuizione della trascendenza del pi greco, ma anche un’ipotesi di valore precisa al 99,99%, fino alla quarta cifra decimale.
Douglas Hofstader nel suo Anelli nell’io scrive: “Probabilmente avete visto da qualche parte la dimostrazione di Euclide del teorema sull’infinità dei numeri primi; in caso contrario vi siete persi uno dei pilastri più fondamentali della conoscenza umana che siano mai stati eretti. Sarebbe, nella vostra esperienza di vita, una lacuna tanto deplorevole quando non avere mai assaggiato il cioccolato o non avere mai ascoltato un brano musicale.”
Tale dimostrazione è molto bella e molto importante, ma il lavoro di Archimede su π a parer mio è ancora più bello e ancora più importante. Sarebbe davvero un peccato non mostrarvene l’impostazione.

Allora… prendiamo il nostro cerchio di diametro 1 e costruiamo un quadrato Q1 ad esso circoscritto con i lati di questa medesima lunghezza. Dal momento che ogni quarto di circonferenza viene ad essere sovrastato da una spezzata (corrispondente a un quarto del quadrato) che ne congiunge gli estremi compiendo un percorso più lungo, siamo sicuri che il perimetro di Q1 è maggiore di quello del cerchio. Adesso spostiamoci all’interno della circonferenza, dove costruiremo un quadrato Q2 di diagonale pari a 1. Tale quadrato sarà ruotato di 45° rispetto a quello esterno e non solo avrà il perimetro minore del suo, ma anche minore di quello del cerchio dal momento che ogni quarto di circonferenza sarà sotteso da un lato di Q2 che congiunge i suoi stessi estremi compiendo un percorso minore.
Abbiamo quindi pQ1 < c < pQ2 con pQ1 = 4 e pQ2 = 2,8 (calcolabile con il teorema di Pitagora applicato ai triangoli retti e isosceli di ipotenusa conosciuta).

pi_square

Se il valore di c (e quindi di π) si trovasse esattamente a metà strada tra 4 e 2,8 sarebbe 3,4. Ooh… Fischi per Archimede! Lo scriba egizio Ahmes aveva riportato più di 1000 anni prima un valore del pi greco ben più vicino a quello reale: 3,16. La differenza tra Ahmes ed Archimede era che il primo semplicemente scriveva cose dettate da altri, mente il secondo aveva appena iniziando a tessere la tela volta ad imbrigliare l’essenza del cerchio. Vediamo quel che succede quando il numero dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti aumenta.

ImageASD

Già la media tra il perimetro del poligono inscritto e circoscritto a 32 lati permise ad Archimede di arrivare a una stima eccezionale, ma egli non si considerò soddisfatto e si spinse fino a poligoni con 96 lati, producendo un π da 3,1419. È tutto qui! Più bravi si diventa a calcolare il perimetro di figure piane regolari più ci si avvicina al vero valore di pi greco, ma non è mai possibile giungere a una risposta definitiva in quanto il cerchio è un poligono a infiniti lati e per quanto ci si sforzi l’infinito non è raggiungibile. Per questo diciamo che π è un numero trascendente: esso non è di questo mondo, non può venire racchiuso in una banale equazione algebrica, non sarà mai tutto sotto i nostri occhi.
Ho scelto π per aprire l’articolo proprio perché la sua solo parziale calcolabilità lo rende intuitivamente molto ingarbugliato e complesso.


Numero di Graham

Oggi conosciamo i primi 5000 miliardi di cifre decimali del pi greco, in parte perché possiamo utilizzare strumenti capaci di effettuare milioni di milioni di calcoli al secondo (i supercomputer) e in parte perché la matematica avanzata (in particolare le serie infinite e i numeri immaginari) ci ha resi in grado di impostare le espressioni per trovare il perimetro di poligoni a n lati. Un numero a 5000 miliardi di cifre è un senza dubbio molto grande, ma non ha nulla a che vedere con l’infinito, e neppure ha nulla a che vedere con i numeri più grandi che l’uomo è riuscito a trovare e utilizzare. 5000 miliardi di cifre stanno in una biblioteca da alcuni milioni di volumi o più semplicemente in un hard disk da 5 terabyte e con un po’ di sforzo possiamo scriverle sotto forma di potenze impilate (una cosa come 10^10^10^1,23479284 dove tre piani sono sufficienti per arrivare a un numero con 1012 cifre). Tale numero è alto, ma ancora concepibile dal nostro cervello, in particolare se si tratta di un numero decimale che non va ad alterare la vera dimensione di una costante – pi greco vale sempre circa 3.
Ma ci sono numeri così grandi che non solo il loro ordine di grandezza non è concepibile, ma non lo è neppure l’ordine di grandezza del loro ordine di grandezza. E, mentre noi umani possiamo scrollare le spalle davanti alla parola infinito, non riusciamo a scollarle di fronte a questi mastodontici numeri finiti, anche se l’infinito è infinite volte il loro valore. Si tratta di una questione psicologica: quando pensiamo all’infinito ci fermiamo ai numeri più alti in cui ci è capitato di imbatterci e pensiamo “e così via”, fondamentalmente perchè la maggior parte di noi non possiede sufficientemente immaginazione per visualizzare entità numeriche superiori, diverse, estreme. Quindi è necessario che queste entità superiori, diverse ed estreme vengano prodotte da matematici coraggiosi e da loro illustrate a tutti gli altri. È l’unico modo che abbiamo per arrivare a percepire un briciolo di immensità.
Il più mastodontico tra i numeri mastodontici è il numero di Graham; così mastodontico che il suo vertiginoso ordine di grandezza è per i nostri cervelli più trascendente di qualsiasi cosa si possa dire sul pi greco.

Dunque. Il numero di Graham è la soluzione a un problema di geometria non particolarmente interessante che si può sintetizzare così: quante dimensioni deve possedere una figura dalle facce quadrate affinché non sia più possibile colorare ogni lato e diagonale con gli stessi due colori senza che vi sia una faccia monocromatica? Graham trovò la risposta a questo quesito e il caso volle che si trattasse del più grande numero mai comparso in una dimostrazione matematica. Se non avete afferrato la mia ermetica formulazione del problema a questo link trovate un video in cui Graham stesso spiega il funzionamento della cosa. A noi non interessa molto la disputa geometrica ma piuttosto l’ordine di grandezza di questo numero spaventoso, per poi provare a confrontarlo con il numero record a 5000 miliardi di cifre che fino ad ora è stato posto dopo la virgola, in π.
Uno dei primi indizi che ci dovrebbe fare preoccupare dando un’occhiata alla dimostrazione di Graham è il fatto che sia necessaria una notazione non convenzionale per rappresentare la soluzione al problema. In pratica non è possibile esprimere il numero di Graham sotto forma di piramide di potenze, per quanto babelica essa possa essere: 999^999^999^999^999^999^999 è un numero gargantuesco, un numero con una quantità di cifre molto superiore quello di tutti gli atomi nell’universo, ma esso non vale niente se lo paragoniamo al numero di Graham. A dire il vero sospetto che anche se continuassi a copiare ^999 alla fine dell’espressione per i prossimi mille anni mi troverei in mano un numero che confrontato al numero di Graham continuerebbe ad essere poco più di zero.
Dunque le piramidi di potenze non vanno bene. Il simbolo utilizzato da Graham per il suo lavoro fu la freccia rivolta verso l’alto, o ↑. Vediamo cosa questa freccia significa e dove essa sia in grado di portarci. Pronti?

Una singola ↑ indica l’elevamento a potenza del numero che la precede per il numero che la segue, diciamo A↑B= AB. Ad esempio 3↑3 sta per 3 al cubo, ossia 27. Niente di che.
All’aumentare del numero di fecce n la regola da applicare è la seguente: A(n-1)↑[B(n-1)↑B]. Se le frecce sono solo due – 3↑↑3 – non avviene nulla di spettacolare perché applicata la regola si ricava 3↑(3↑3) che è una banale torre di esponenti a 3 piani, pari a 327, che è 7.625.597.484.987.
Solo arrivati allo step successivo il gioco si fa interessante, dal momento che le frecce iniziano a moltiplicarsi. 3↑↑↑3  diventa 3↑↑(3↑↑3) con (3↑↑3) uguale al numero a 13 cifre che abbiamo appena trovato. Sostituendo tale valore abbiamo 3↑↑7.625.597.484.987 ossia 3↑ (7,625,597,484,987↑7,625,597,484,987), che è 3 elevato a un numero con 98.235.035.280.650 CIFRE.
Passiamo a 3↑↑↑↑3? Dal momento che 3↑↑↑↑3 è uguale a 3↑↑↑(3↑↑↑3)  Basta prendere il mastodontico risultato appena ottenuto e metterlo al posto di C di questa espressione: 3↑↑↑C. Applichiamo le regola e vediamo che 3↑↑↑C vale 3↑↑(C↑↑C), per cui  dobbiamo in pratica elevare C a sé stesso due volte, elevare il risultato ottenuto a sé stesso, e infine mettere quel che esce come esponente a 3. E ricordiamoci che C ha diversi miliardi di miliardi di miliardi di cifre. Siamo già ben oltre il computabile, vale a dire che il numero di volumi di Planck nell’universo conosciuto sono molti molti di meno di 3↑↑↑↑3: se anche tutta la materia esistente fosse organizzata per funzionare come un enorme computer quantistico il valore di 3↑↑↑↑3 non sarebbe calcolabile.

Spero che siate caldi perché ora arriva il bello. Non ci basta aggiungere qualche freccia tra i 3 e vedere come il valore del numero che l’espressione indica schizzi oltre il comprensibile in poco tempo. Non ci basta renderci contro che 4 semplici frecce producano un numero così grande da non avere alcun significato fisico. Vogliamo altre frecce, tante altre frecce. Quante? 10? 100? 1000? No. Vogliamo mettere tra i due 3 un numero di fecce pari a 3↑↑↑↑3!! Troviamo così un numero impossibile, D. Ora tra i 3 mettiamo D frecce. Calcoliamo e troviamo E. Mettiamo E frecce tra i 3. Avanti così altre 62 volte e avremo il numero di Graham G.

467a1c5c71e418299c86644fa7988bcbIl numero di Graham è così grande che non è possibile scriverlo per intero neanche con la ‘up arrow notation’.


Numeri di Gödel

E ora qualcosa di completamente diverso!
Io considero il numero di Graham complesso perché esso ci dimostra che una mente umana, tenendo strette le briglie della matematica, può arrivare a ragionare su numeri infinitamente maggiori del numero di atomi nell’universo con un cervello che ne contiene un numero infinitamente minore. Tutto si svolge in potenza, ma è incredibile pensare che un organo così piccolo possa generare un fantasma in grado di ingoiare 3↑↑↑↑3 universi 3↑↑↑↑3 volte. E più. Nel caso non l’avessi mai detto i fantasmi, o emergenze, sono l’essenza della complessità.
I numeri di Gödel hanno poco in comune con il gioco matematico di Graham, essi sono assai più importanti e ingegnosi e hanno condotto ad una vera e propria rivoluzione in matematica attorno agli anni 30 del Novecento. Essi hanno in comune con G la grande dimensione (anche se non così grande!) e uno strano modo (ben più strano di G!) di costruirsi rigirandosi su sé stessi, ricorsivamente. La complessità deriva proprio dalla bislacca capacità che hanno di parlare di loro stessi: numeri che dicono cose sui numeri, che assurdità è mai questa?

Ecco un numero di Gödel: 243000000.
Ed eccone un altro: 1582264406545389000000
E un altro ancora:
2038651833281200581936943015701033907390834109640207601397560173563127523420889856562500000000.

Dedurre la natura di questi numeri senza conoscere il modo in cui sono stati costruiti è molto difficile e anche nel caso qualche campanello d’allarme suonasse nella vostra testa dubito riuscireste a immaginare il loro scopo ultimo. Ecco un consiglio: effettuatene la scomposizione in numeri di primi e confrontate i risultati. (in rete c’è uno strepitoso strumento, chiamato Wolfram Alpha, che è in grado di svolgere moltissime operazioni matematiche e darvi informazioni su ogni numero che gli vogliate sottoporre: provate a buttagli dentro quelli che vi ho proposto).

Ecco cosa succede:
243000000 = 26x35x56
1582264406545389000000 = 26×311×56×75×96
2038651833281200581936943015701033907390834109640207601397560173563127523420889856562500000000 = 28×34×513×714×118×1313×197×2317×299

Tutti e tre i numeri sono esprimibili come prodotto di potenze di numeri primi crescenti! Grande! E quindi? Perché la cosa è interessante? Gli esponenti da dove vengono? E perché nel primo esempio i numeri primi tra di loro elevati e moltiplicati sono 3 e nel terzo sono 9? C’è un limite alla grandezza degli esponenti? C’è un limite alla lunghezza dell’espressione?
Ecco la risposta, in breve: gli esponenti codificano ciascuno un simbolo del sistema logico formale PM e il numero delle basi corrisponde al numero di caratteri presenti nella stringa tradotta.

Facciamo un passo indietro. Il lavoro di Kurt Gödel va fatto risalire a un momento di profonda crisi per la logica occidentale, un momento di paradossale coesistenza tra il più rigido conservatorismo e la più sfrenata sperimentazione.
Bertrand Russel e Alfred Whitehead da poco avevano concluso un faticoso di lavoro di reimpostazione formale di tutta la matematica, riforgiando gli strumenti logici che fino a quel momento erano stati utilizzati e organizzandoli gerarchicamente in modo tale che fossero ben chiari a tutti i punti di partenza e le regole da seguire. Era la prima volta che un tentativo di completa formalizzazione della matematica aveva successo e si trattava di un gran traguardo perché il sistema di Russel e Whitehead, chiamato Principia Mathematica o PM, ora poteva legittimare o delegittimare ogni nuova scoperta mettendola alla prova con assiomi e leggi di inferenza. Dal momento che PM possedeva o poteva definire tutti i simboli necessari per fare matematica e che operava secondo regole assodate come il principio di identità, quello di contraddizione e altri, in pratica tutto quello che in esso veniva derivato era da considerarsi vero e tutto ciò che si ipotizzava vero doveva poter essere derivato.
Cosa rovinò questo scenario idilliaco? Purtroppo non tutti i matematici del mondo erano placidi quando Russel e i suoi amici conservatori, per cui anche se l’idea di un sistema formale completo e consistente stimolasse le nuove leve, ugualmente queste erano stimolate dalla possibilità di metterlo alla prova. Fu così che Gödel si lanciò insieme ai suoi compagni in una forsennata caccia al paradosso. E la vinse, la vinse in maniera schiacciante e sorprendente, dimostrando che qualsiasi sistema formale sufficientemente complesso avrebbe contenuto una famiglia di proposizioni in grado di negare loro stesse. Come ci riuscì? Attraverso i numeri che prendono il suo nome.

PM è costituito da pacchetti di righe scritte in linguaggio fatto di operatori logici (in modo non molto diverso dai moderni linguaggi di programmazione). Ogni pacchetto è detto dimostrazione, o derivazione, e ogni riga è detta stringa, formula o proposizione. Gödel decise di trasformare proposizioni e dimostrazioni in numeri che gli fosse possibile reinserire in PM, consentendogli così di manipolarle e confrontarle attraverso gli strumenti dello stesso sistema formale, cosa che non era altrimenti concessa dalle regole imposte da Russel. Così egli assegnò ad ogni simbolo PM un numero intero, e trovò un modo per fare sì che nella conversione stinga-numero il loro ordine e la loro frequenza fosse rispettata. In pratica basta prendere una formula logica, sostituire i suoi caratteri con numeri primi crescenti elevati al numero che individua ciascun simbolo e moltiplicare tutti i risultati. Per esempio la numerazione di Gödel assegna al simbolo 0 il numero 6 e al simbolo = il numero 5. Per trasformare la stringa 0=0 in un valore numerico è sufficiente calcolare 26x35x56 che per puro caso è 243000000, il nostro primo esempio di numero di Gödel.

Image7

Riuscite a ricavare le stringe madre degli altri due numeri che vi ho proposto sopra?

Non dovrebbe essere difficile.

26×311×56×75×96
è 0+0=0
e
28×34×513×714×118×1313×197×2317×299
è (Ex)(x=s0) che si legge “esiste una x tale che x è uguale a 1″ e significa “esiste un numero che è 1″

Arrivati a questo punto sarebbe ingiusto lasciarvi senza accennare al gioco di prestigio che permise  a Gödel di minare la credibilità di PM come portatore di ordine, luce e verità. In pratica egli riuscì a derivare in PM una proposizione G che, nella nostra lingua, affermava: “g non è il numero di Gödel di nessuna proposizione”. Che sarebbe stato come dire che quel numero g non poteva essere tradotto in una stringa PM. Peccato che g era proprio il numero di Gödel di G! In pratica se si fosse presa G e la si fosse trasformata in un numero si sarebbe trovato proprio g. Spiegare come Gödel sia riuscito a fare stare il numero di Gödel di una stringa dentro sé stessa è troppo lungo e complicato per essere riportato qui ma vi posso garantire che egli lo fece usando solo simboli e regole approvate da Russell durante la redazione di PM. In pratica Gödel aveva dimostrato come l’onnipotente sistema PM, in grado di dire solo verità e di includere tutte le verità al suo interno poteva arrivare ad affermare una cosa che si contraddiceva da sola. Se G fosse stata vera essa avrebbe asserito una falsità, mentre se fosse stata falsa starebbe dicendo una verità.

“Questa affermazione è falsa” afferma il paradosso di Epimede e la cosa ci risulta curiosa ma sicuramente non fa crollare le nostre certezze sul mondo. Anzi, è un’ulteriore prova di quanto sia facile sostenere una cosa e subito dopo il suo contrario, come molti esperti di bispensiero orwelliano ci mostrano ogni giorno. Questo non ci sconvolge perché sappiamo bene che il linguaggio umano per quanto ricorsivo e generativo non è gerarchico in senso stretto, con tutte le possibilità che si originano da assiomi iniziali. Quello è PM e PM non poteva sopportare di contenere un paradosso, perché altrimenti le sue pretese di modello logico ultimo non sarebbero più potute valere. Gödel dimostrò che la matematica non era semplicemente uno strumento in grado portare ordine, luce e verità, ma anche un luogo oscuro, confuso e talvolta contradditorio.

0ae9a8546c6fdeefc3c2db6cfd521b0a25a79b13a89698bd5764fd1d0ae56362 (1)Quel burlone di Gödel

Bibliografia
David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, 1998
Douglas Hofstadter, I am a Strange Loop, 2007
Ernest Nagel, James Newman, Gödel’s Proof, 2008

La Trilogia di Nessie

thumb“Una lamentela frequente che ricevo dai miei amici non scienziati è che la fisica contemporanea parli di cose che fanno girare la testa, come le extra dimensioni (una materia oscura che non si è mai riusciti a vedere), stringhe invisibili, universi paralleli, buchi neri che evaporano, ponti di Einstein-Rosen eccetera, nonostante la maggior parte di queste ipotesi non abbia molte prove sperimentali oppure osservative (se mai ne hanno una) a supporto della propria esistenza. Eppure fenomeni come la telepatia e la precognizione sono sperimentati da migliaia di persone, e gli scienziati continuano a rifiutarle e a considerarle delle sciocchezze. Non stanno forse usando due pesi e due misure? Una volta sono stato sfidato: «Come puoi negare l’esistenza dei fantasmi quando accetti quella dei neutrini, che sono molto più elusivi e non sono mai stati visti da nessuno?». La risposta breve a questa domanda è: grazie alla regola di Bayes.”

Questo intrigante passo è tratto da un saggio di Paul Davies, fisico e cosmologo di gran fama. Attualmente a capo di uno dei dipartimenti del progetto SETI, potremmo dire che Davies è stato uno degli illustri scienziati che hanno raccolto lo scettro di Carl Sagan, facendo della divulgazione scientifica uno degli obiettivi primari della propria attività. Importantissimo, tale divulgazione non consiste solo nella spiegazione dei metodi, della storia e dei risultati della scienza (compiti già lodevoli), ma anche nella comunicazione della meraviglia che si può arrivare a provare rimirando gli sconfinati e intricati panorami della ricerca. Lo stesso Sagan più di una volta si era esposto sulla questione che Davies cerca di affrontare nel passo riportato, riassumendo la propria posizione con le parole: fatti straordinari richiedono prove straordinarie. Che cosa significa questo? Cosa è la regola di Bayes? Come possiamo dare per scontato qualcosa che non è mai stato osservato e considerare ridicole molte altre cose che invece ricevono credito da milioni se non miliardi di persone?

Quei materialisti che pensano di adottare un punto di vista neutro e distaccato nel giudicare quel che li circonda non potrebbero essere più in errore: i nostri giudizi sul mondo sono solo per metà guidati dai fatti, l’altra metà consiste in supposizioni guidate da premesse di tipo euristico. Un certo evento può essere interpretato in una moltitudine di modi, a differenza delle cause che gli attribuiamo e dell’importanza che gli diamo, per cui non è affatto corretto dire che i dati da soli possono condurci alla verità.
Immaginate che il campanello del cancello condominiale d’un tratto squilli, ma quando andate a verificare chi è alla porta non risponda nessuno. Cosa pensate? Che i ragazzi del quartiere sono dei perdigiorno maleducati? Che vostra moglie ancora una volta ha citofonato per poi rendersi conto di avere le chiavi con sé? Che la solita sciura del terzo piano ha suonato a 7 persone senza rendersene conto ed è entrata appena ha potuto? Che si è ripresentato nuovamente quel fastidioso guasto alla centralina? Che il citofonatore è stato rapito dagli alieni? Sono (quasi) tutte ipotesi possibili, ma è davvero raro che ciascuna di esse attiri la nostra attenzione cognitiva, dal momento che tutti noi sappiamo quale delle opzioni è più plausibile nella nostra vita. Se la sciura che abita al terzo piano del vostro condominio è un po’ rimbambita e parecchie volte finisce per citofonare a caso penserete che il motivo dello scampanellio a vuoto sia lei. Il nostro amico materialista potrebbe obiettare è sufficiente fare un calcolo statistico sulle eventualità che ci sono accadute per scegliere la migliore ipotesi, ma spesso le cose non sono così limpide. Se aveste appena visto un servizio in tv su dei rapinatori che si introducono nei condomini suonando a tutti gli inquilini allora la vostra buona vecchia amigdala squillerebbe ben più forte del citofono, mettendovi in guardia e distorcendo il vostro giudizio. Sarebbe impossibile mettersi ad elencare tutte le questioni dubbie su cui si ancorano i nostri pareri in maniera ben più sottile della problematica-campanello (per esempio, Caterina Simonsen parla della ricerca sulle malattie rare: c’è chi la considera una ragazza coraggiosa e determinata e chi invece una marionetta al soldo dei perfidi ricercatori).

Iniziate a capire? Ogni volta che veniamo a contatto con un fatto o un’affermazione noi formuliamo delle ipotesi di causalità a cui assegniamo delle probabilità di verosimiglianza. L’ipotesi che ottiene il maggior punteggio vince ed entra a fare parte delle nostre convinzioni. Questo punteggio è la probabilità a priori postulata da Bayes. Nella maggior parte dei casi le ipotesi vincenti appaiono così autoevidenti che non c’è bisogno di alcuna verifica e ci accontentiamo di minimi indizi al loro sostegno. Altre volte però la valutazione a priori non risulta conclusiva o genera solo vaghe sensazioni orientative: in questi casi andiamo alla ricerca di conferme a posteriori, che possono essere banali controlli fisici (era davvero una moneta quella che ho visto luccicare nel prato?) oppure complicate raccolte di opinioni (Il presidente del consiglio è una persona onesta?).
A volte può captare di essere messi di fronte a ipotesi così nuove e sospette da risultare improbabili se messe in relazione con il nostro sistema di credenze. Ed eccoci tornati a Sagan, che si riferisce a ipotesi dalla bassa probabilità a priori sostenendo: fatti straordinari richiedono prove straordinarie. Vale a dire, per sconfiggere certezze radicate servono ripetute violazioni e un nuovo sistema che possa accoglierle.

Abbiamo detto più volte che la scienza è un senso comune che non si accontenta di sospetti ma pretende prove. La scienza è coerente e, anche se non è ancora completa (cioè in grado di spiegare tutto) i suoi confini si stanno allargando sempre più – curiosamente più si allargano meno ipotesi strampalate ci stanno dentro. Nella scienza la probabilità a priori non è un soggettivo sentore di cosa sia vero e cosa sia falso a partire da imput percettivi e categorizzazioni euristiche, ma è una precisa indicazione che deriva da certezze comprovate e condivise. Neutrini, materia oscura e singolarità fisiche non sono astrazioni accessorie, ma conseguenze necessarie di quel che abbiamo scoperto osservando e manipolando il mondo con rigorosità e per questo i fisici assegnano loro probabilità a priori che permettano di considerarle vere anche in mancanza di prove conclusive. Al contrario concetti come il ruolo delle cellule gliali nella computazione celebrale o l’importanza del junk dna per la codifica genetica sono solo plausibili: non potendoli dare per scontati assegniamo loro probabilità a priori intorno al 50% e ci diamo da fare per trovare prove della loro rilevanza.
E quindi… cosa dire dei fantasmi, dei dinosauri subacquei e delle divinità? Dal momento che i nostri modelli scientifici non ne prevedono l’esistenza (vale e dire che le spiegazioni rigorose che ci diamo su come funzionano le cose non hanno bisogno di spiriti, mostri e dei), la probabilità bayesiana a loro riguardo si può considerare prossima allo zero. Per cui, seguendo Sagan, diventano necessarie evidenze definitive perché i modelli scientifici possano venire ampliati fino ad includerli, o per meglio dire, rivoluzionati. Inutile dirlo tali evidenze al momento sono alquanto esili, per non dire nulle.

Una controprova. La natura della coscienza umana è al momento totalmente estranea alla scienza, ma la sua esistenza è pervasiva, essendo sperimentata in prima persona da ciascuno di noi. Ergo la coscienza esiste anche se non può essere ancora spiegata scientificamente: potete dire lo stesso per Dio?

Con questo articolo si conclude la Trilogia di Nessie sulle credenze e sui Nessi causali. Sarà una trilogia in n volumi, visto che sicuramente in futuro tratterò l’argomento da nuovi punti di vista, ma per ora ci prendiamo una pausa.
Au Revoir!

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